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Wendepunkt
Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf der Kurve, an dem sich die Art der Krümmung ändert. Dabei ändert sich die Form der Kurve von konkav zu konvex oder umgekehrt.
Beispiel 1
Untersuche die Wendepunkte der Funktion f (x) = x4 − 6x3 + 12x2 − 8x + 1
f ′(x) = 4x3 − 18x2 + 24x − 8
f ′′(x) = 12x2 − 36x + 24
f ′′′(x) = 24x − 36
Für ein Wendepunkt gilt f ′′(x) = 0 und f ′′′(x) ≠ 0
12x2 − 36x + 24 = 0 ⇒ x2 − 3x + 2 = 0 ⇒ x1 = 1 x2 = 2
f ′′′(1) = 24 − 36 = −12 ⇒ W1 (1, 0)
f ′′′(2) = 48 − 36 = 12 ⇒ W2 (2, 1)
Die Steigung der Wendetangente beträgt m = f ′(xw)
W1 (1,01) ⇒ m1 = f ′(1) = 4 − 18 + 24 − 8 = 2 zunehmend
W2 (2, 1) ⇒ m2 = f ′(2) = 32 − 72 + 48 − 8 = 0 horizontal