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Cantor-Staub

Die Cantor-Menge besteht aus allen reellen Zahlen im Einheitsintervall die nicht die Ziffer 1 in ihrer triadischen dezimal darstellung enthalten.

 


Erläuterung

Die Endpunkte sind in Basis 3 dargestellt.

03 0,013 0,023 0,13 0,23 0,213 0,223 13
Schritt 0
Schritt 1
Schritt 2
Schritt 3
Schritt 4
Schritt 5

 


Endpunkte

Die Endpunkte werden nie entfernt. Da jeden Schritt eine endliche Anzahl Intervalle entfernt und die Anzahl Schritte abzählbar ist, ist die Anzahl Endpunkte abzählbar unendlich.

 


Intervalle

In Schritt 1 entfernen wir die Zahlen zwischen 0,13 und 0,23. Da 0,13 gleich 0,0222…3 ist, entfernen wir genau alle triadische Zahlen mit einer 1 in der ersten Nachkommastelle.

In Schritt 2 entfernen wir die Zahlen zwischen 0,013 und 0,023 und die Zahlen zwischen 0,213 und 0,223. Da 0,013 gleich 0,00222…3 ist und 0,213 gleich 0,20222...3 ist, entfernen wir genau alle triadische Zahlen mit einer 1 in der zweiten Nachkommastelle.

In Schritt 3 entfernen wir die Zahlen mit einer 1 in der dritten Nachkommastelle, und so weiter.

Die Zahlen die übrig bleiben sind diejenigen wo die triadische Nachkommastellen komplett bestehen aus 0’en und 2’en.

 


Kardinalität

Wenn wir in die übrig gebliebenen Zahlen die Zweien durch Einzen ersetzen, bekommen wir genau alle Zahlen der binären dezimal Darstellung. Die Menge dieser Zahlen ist überabzählbar unendlich.

Die Cantor-Menge hat also die gleiche Kardinalität wie das Intervall [0,1] und deswegen wie die Menge der reellen Zahlen.

 


Schlussfolgerung

Nachdem wir alle Intervalle entfernen, ist die Menge der übrig gebliebenen Punkte nicht kleiner als die Menge womit wir angefangen hatten. Das ist doch erstaunlich.

 


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