Maeckes logo

<    1      2      3      4    >



DE CIRKEL.

§ 30. 
    De vergelijking van den cirkel.  Wanneer men de vergelijking van een cirkel verlangt, die M (α,  β)  als middelpunt en r als straal heeft, behoeft men slechts uit te drukken, dat de afstand van een punt P (x, y)  tot het vaste punt M de vaste waarde r heeft, dus volgens (1):
zoodat
27 
(x − α)2 + (y − β)2 = r2
de vergelijking van den cirkel voorstelt met M als middelpunt en r als straal.
   Nog eenvoudiger wordt deze vergelijking als de oorsprong van coördinaten het middelpunt van den cirkel is; men heeft dan α = 0, β = 0 en (27) gaat over in
28 
x2 + y2 = r2,
welke de middelpuntsvergelijking van den cirkel wordt genoemd. In fig. 13 is verder:

x = α + r cos φ
y = β + r cos φ

    Dit is de parametervoorstelling van den cirkel.
    Eliminatie van φ tusschen beide betrekkingen moet nu (27) teruggeven, want

x − α = r cos φ                                                     yβ = r sin φ

                                    

We weten dat sin2θ + cos2θ = 1, dus

Wanneer men (27) uitwerkt krijgt men:
29 

x2 − 2αx + α2 + y2 −  2βy +  β2 − r2 = 0

   Stelt men kortheidshalve −2α = a, β = b, α2 + β2 − r2 = c, dan kan men dus schrijven:
x2 + y2 + ax + by + c = 0, die we de algemene vergelijking van den cirkel zullen moemen. Ook voor de cirkelvergelijking zal de symbolische notatie dikwijls van nut zijn; we nemen dan

C ≡ x2 + y2 + ax + by + c = 0

en stellen den cirkel eenvoudig voor door
30 

C = 0.

  De algemene vergelijking van den cirkel is een vergelijking van den tweede graad met twee onbekenden, maar niet de meest algemeene. Immers deze laatste kan zes verschillende termen bevatten: drie van den tweede graad (n.l. die met x2, xy, en y2), twee van den eerste graad (die met x en y) en een bekenden term. Ze kan dus als volgt worden geschreven:

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

Hiervan is de algemeene vergelijking in twee opzichten een bijzonder geval: . de termen met x2 en y2 hebben gelijke coëfficienten (welke door deeling van de geheele vergelijking natuurlijk tot 1 kunnen worden gemaakt) en . de term met xy ontbreekt. Gaan we thans dus uit van zulk een bijzondere tweedegraadsvergelijking

Ax2 + Ay2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

en trachten we haar tot den vorm te herleiden. Na deeling door A heeft men

.

De beide termen, die x bevatten, kan men door bijvoeging van  tot een volkomen vierkant maken, en evenzoo die met y door bijvoeging van . Deze termen moeten dan ook bij het rechterlid worden opgeteld en de vergelijking kan worden vervangen door

 .

Stelt men ,  en  , dan krijgt men de vergelijking van den cirkel terug. De vergelijking Ax2 + Ay2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 zal dus een cirkel voorstellen met  en  als middelspuntcoördinaten en een straal

                           .

   Is nu de teller van de breuk onder het wortelteeken positief, dan is r reëel en verkrijgt men een reëelen cirkel. Maar D2 + E2 − AF kan ook negatief zijn. In dat geval wordt r imaginair en de cirkel dus eveneens. Als overgangsgeval is nog mogelijk D2 + E2 − AF = 0. Dan is r = 0, de cirkel is dan ineengekrompen tot een enkel punt, zijn middelpunt, en draagt den naam van puntcirkel.
   De vergelijking van den tweeden graad met twee onbekenden, waarin de term met xy ontbreekt en de termen met x2 en y2 gelijke coëfficienten hebben, stelt steeds een cirkel voor; het hangt echter van de coëfficienten af of deze cirkel reëel, imaginair of een puntcirkel is.
   Wanneer in de boven besproken vergelijking van den cirkel termen ontbreken heeft de cirkel een bijzondere ligging. Zoo ligt, als D = 0 is, het middelpunt op de Y-as en als E = 0 is op de X-as. Is F = 0 dan gaat de cirkel door den oorsprong.
   Ook ziet men gemakkelijk in, dat twee cirkels, waarvan de vergelijkingen slechts in den bekenden term F verschillen, concentrisch moeten zijn. Beide hebben dan n.l. volgens het voorgaande dezelfde middelpuntscoördinaten doch verschillende stralen.
  Een bijzonder geval is eindelijk A = 0. De vergelijking is herleid tot een van den eersten graad: 2 Dx + 2 Ey + F = 0, stelt dus een rechte lijn voor. Tevens blijkt uit de formules, dat beide middelpuntscoördinaten en de straal alle de waarde ∞ aannemen.
   Een rechte lijn is dus te beschouwen als een cirkel met oneindig ver gelegen middelpunt en oneindig grooten straal; Meetkundig is echter duidelijk, dat ook de oneindig verre rechte van het vlak deel uitmaakt van den cirkel, zoodat deze cirkel is uiteengevallen in die twee rechte lijnen.

 

Uit

B   E   G   I   N   S   E   L  E  N    D  E  R
A   N   A   L   Y   T   I   S   C   H   E
M    E     E    T    K    U    N    D    E

DOOR                        

Dr. D. J. SCHREK      

P. NOORDHOFF N.V.   -   GRONINGEN - BATAVIA