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Kreisgruppe
In der komplexen Ebene kann man eine Kreisgruppe zeichnen.
Erläuterung
Der Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene ist die Menge S1 = {z ∈ ℂ : |z| = 1} der komplexen Zahlen vom Betrag 1, und ist eine Untergruppe von (ℂ* , ·), die sogenannte Kreisgruppe: Das Produkt zweier Zahlen vom Betrag 1 hat wieder Betrag 1, ebenso das Inverse. Hier hat man eine „mit der Differentialrechnung verträgliche Gruppenstruktur“, d. h. eine Lie-Gruppe.
Eulerformel
Alle Punkte auf diesem Kreis entsprechen der Eulerformel
und diese ergeben darum die im Argand-Diagramm angegebenen Punkte.
Ausfüllen von φ in der Formel gibt die Werte
→ → → →
Zahlenkreis
Man kann den komplexen Einheitskreis in den Zahlenkreis aufnehmen. Damit kann man die Kohärenz von natürlichen Zahlen und komplexen Zahlen darstellen. Der innere Rand bildet ein Quadrat, das mit der Zahl 1 beginnt und sich bis zur Zahl 24 fortsetzt.
21 22 23 24 1 2 3 20 4 19 i 5 18 i2 0 −i2 6 17 −i 7 16 8 15 14 13 12 11 10 9
Die imaginären Zahlen i und −i liegen auf dem Einheitskreis. Da i2 = −1 und −i2 = +1 ist, kommt die Zahl 1 zweimal im Zahlenkreis vor.
Imaginäre Einheit
Die imaginäire Einheit kann man als Basis einer exponentiellen Funktion nehmen. Für die Potenzen folgt, in Uhrzeigersinn (englisch: clockwise)
i 0 = 1, i 1 = i, i 2 = –1, i 3 = –i
i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = –1, i 7 = –i
oder in der anderen Richtung (englisch: anti-clockwise)
i 0 = 1, i –1 = –i, i –2 = –1, i –3 = i
i –4 = 1, i –5 = –i, i –6 = –1, i –7 = i
Das Argand-Diagramm zeigt die Werte 1, i, –1 und –i auf den angegebenen Punkten.