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Combinaisons

Le nombre des combinaisons pour choisir r éléments parmi un ensemble de n éléments, sans faire attention aux sequence, peut être écrite comme

nCr       ou       nCr       ou       C(n, r)       ou       

et s'appelle en anglais 'from n Choose r'.

 


Explication

C'est égale à

ce que on peut écrire comme

 


Exemple 1

Nous prenons les lettres ABCD et allons jouer. Nous allons voir combien de combinaisons différentes de 2 lettres vous pouvez faire avec ces 4 lettres. Si l’ordre des lettres ne joue pas un rôle, nous avons 6 combinaisons

AB = BA
AC = CA
AD = DA
BC = CB
BD = DB
CD = DC

Cela s’appelle le nombre de combinaisons de 2 sur 4 et nous calculons

Nous continuons et cherchons le nombre de combinaisons de 3 sur 4. Si l’ordre des lettres ne joue pas un rôle, nous avons seulement 4 combinaisons

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA
ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA
ACD = ADC = CAD = CDA = DAC = DCA
BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB

Cela s’appelle le nombre de combinaisons de 3 sur 4 et nous calculons

Si vous prenez tous les 4 lettres et l’ordre ne joue pas un rôle, ça laisse seulement 1 combinaison

ABCD = DCBA … et ainsi de suite

Cela s’appelle le nombre de combinaisons de 4 sur 4, que nous calculons aussi

Par définition, il est prévu que 0! ≝ 1, et cela nous aide maintenant. Par souci d’exhaustivité, nous attendons également que se passe quand nous prenons seulement 1 lettre. Il n’y a pas d'ordre, donc on a vraiment 4 combinaisons

A
B
C
D

C’est ce qu’on appelle le nombre de combinaisons de 1 sur 4, que nous calculons aussi

Par souci d’exhaustivité, nous regardons aussi ce qui se passe avec notre formule, quand nous n’avons pas une lettre. On va quand même calculer

Cela s’appelle le nombre de combinaisons de 0 sur 4 (si vous voulez l’appeler comme ça). Ce que nous entendons n’est pas clair, mais la formule marche bien. Pourtant, nous n'avons pas encore examiné un phénomène. Regardez à nouveau les calculs que nous avons rencontrés

Ils se tenaient

Qui est frappante. Exécuter les numéros sur la première et de les exécuter puis reparti. Et aussi ici c’est encore logique si vous avec précision les deux facteurs dans le dénominateur de la formule a l’air. Si le premier facteur augmente, le second facteur diminue par conséquence. Vous pouvez facilement voir que en général

,     et  

Nous vérifions encore un cas particulier, où n s'approche l'infini

Dans la fraction il s'agit dans le numérateur et le dénominateur du « même l’infini », qui heureusement disparait.

 


Histoire

Ces nombres ont également été appelés nombres de Pascal, en hommage au mathématicien français Blaise Pascal (1623 - 1662).


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