Комбинации
Количество комбинаций для выбора r элементов из набора n элементов, без учета порядка, можно записать как
и в английском языке называется "from n Choose r".
Формула расчета
Вы произносите это как 6 на 3, или 5 на 2, или 3 на 1. Это не так точно определено. Это эквивалентно
что можно записать как
Пояснение
Давайте возьмем буквы ABCD и поиграем с ними. Давайте посмотрим, сколько различных комбинаций из 2 букв вы можете составить из этих 4 букв. Если порядок букв не имеет значения, то у нас остается 6 комбинаций
AB = BA
AC = CA
AD = DA
BC = CB
BD = DB
CD = DC
Мы называем это число количеством комбинаций 2 из 4, и вычисляем, что
Продолжаем это некоторое время и находим количество комбинаций 3 из 4. Если порядок букв не играет никакой роли, то у нас остается только 4 комбинации
ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA
ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA
ACD = ADC = CAD = CDA = DAC = DCA
BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB
Мы называем это количеством комбинаций 3 из 4, и подсчитываем их также
Если взять все 4 буквы, и порядок не играет никакой роли, то все 24 варианта равны между собой, и остается только 1 комбинация
ABCD = DCBA … и так далее
Мы называем это количеством комбинаций 4 из 4, и подсчитываем их также
По определению, установлено, что 0! ≝ 1, и это пригодится нам сейчас. Для полноты картины мы также рассмотрим, что произойдет, если мы возьмем только 1 букву. Здесь нет порядка, поэтому на самом деле существует 4 комбинации
A
B
C
D
Мы называем это количеством комбинаций 1 из 4, а также подсчитываем их
Для полноты картины мы также рассмотрим, что произойдет с нашей формулой, если мы не возьмем ни одной буквы. Мы все равно посчитаем
Мы называем это количеством комбинаций 0 из 4 (если вы хотите назвать это так). Что из этого получится, нам сейчас не ясно, но формула выдержит. Тем не менее, мы еще не рассмотрели ни одного явления. Посмотрите еще раз на расчеты, с которыми мы столкнулись на этом пути
Они выступали за
Конечно, это бросается в глаза. Сначала цифры растут, а затем снова падают. И опять же, это имеет смысл, если внимательно посмотреть на два коэффициента в знаменателе формулы. По мере увеличения первого фактора, второй фактор соответственно уменьшается. Вы можете легко установить, что в целом
,
, и
Теперь мы действительно хотим знать. Поэтому, чтобы закончить, мы проверим особый случай, когда n может даже приближаться к бесконечности
Дробь включает в себя "одну и ту же бесконечность" в числителе и знаменателе, которая, к счастью, исчезает. Так что это железно.
ИсторияЭти числа также назывались числами Паскаля, в честь французского математика Блеза Паскаля (1623 - 1662). |