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余弦

对于复数指数函数,余弦定义为

 


解释

余弦的数列中,只有偶数指数

我们使用虚数单位,给所有的加上正号

翻倍后,你会得到

在此基础上,我们加入奇数指数,并立即再减去奇数指数

重新排列后得到

在方括号之间有两个指数函数的序列,因此

那么

 


几何学解释

通过单位圆,你可以计算出 eixe−ix 两点之间的水平距离为 | eix + e−ix |

因此,对于余弦

cos x = ½ (eix + e−ix)

 


例1

你可以看到,cos (½π) = 0,因为

 


例2

你可以看到,cos (0) = cos (2π) = cos (4π) = 1,因为

 


例3

你可以看到,cos (π) = cos (3π) = −1,因为

 


历史

瑞士数学家 萊昂哈德·歐拉 描述了这个余弦公式。


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