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Opérateur différentiel

Un opérateur différentiel considère la différenciation comme une opération abstraite, qui accepte une fonction et en renvoie une autre.

 


Explication

Nous pouvons écrire l’opérateur différentiel avec la lettre D comme

 ,   ,   ,  ... etc.

 


Exemple 1

Dans l’équation différentielle

nous substituons l’opérateur différentiel

Pour (1 + D2)–1 nous utilisons le développement du binôme qui donne

et parce que Dx5 = 5x4, D2x5 = 20x3, D3x5 = 60x2, D4x5 = 120x, D5x5 = 120, D6x5 = 0, etc., nous obtenons

 


Exemple 2

La règle du produit peut être écrite avec les opérateurs différentiels comme

D() = (D(x))ψ + xD(ψ)

Nous convertissons cela en

D() – xD(ψ) = (D(x))ψ

et puisque D(x) = 1, on obtient

D() – xD(ψ) = 1ψ

Les opérateurs peuvent être traitées comme des nombres ordinaires

(Dx – xD)ψ = 1ψ

donc

Dx – xD = 1

 


Histoire

Le physicien Anglais Oliver Heaviside (1850 - 1925) a proposé cette technique.


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