Differentiaaloperator

< 1 >

Een differentiaaloperator beschouwt differentiatie als een abstracte bewerking, die een functie accepteert en een andere teruggeeft.

We kunnen de differentiaaloperator met de letter D schrijven als

, , , ... etc.

zodat we voor Dx = 1 krijgen.

In de differentiaalvergelijking

substitueren we de differentiaaloperator

Voor (1 + D²)^–1 gebruiken we de binomium ontwikkeling, dat geeft

en omdat Dx⁵ = 5x⁴, D²x⁵ = 20x³, D³x⁵ = 60x², D⁴x⁵ = 120x, D⁵x⁵ = 120, D⁶x⁵ = 0, etc. krijgen we

De productregel kun je met differentiaaloperatoren schrijven als

D(xψ) = (D(x))ψ + xD(ψ)

We rekenen dit om naar

D(xψ) – xD(ψ) = (D(x))ψ

en omdat D(x) = 1 krijgen we

D(xψ) – xD(ψ) = 1ψ

Operatoren kunnen we als gewone getallen behandelen

(Dx – xD)ψ = 1ψ

zodat

Dx – xD = 1

De Engelse natuurkundige Oliver Heaviside (1850 - 1925) heeft deze techniek uitgewerkt.