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Bereich eines Logarithmus

Der Bereich eines Logarithmus kann man erweitern um negative und komplexe Zahlen.

 

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Erläuterung

Der logarithmus einer komplexen Zahl z im Intervall [0, 2π) heisst der Hauptwert. Das Intervall (−π, π] kann auch genommen werden. Der Logarithmus ist eine mehrwertige Funktion

ln z = ln r + (φ + 2kπ) i

Negative Zahlen sind eine besondere Art komplexe Zahlen.

 

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Beispiel 1

Wir fangen an mit der Identität von Euler und sehen

e^iπ + 1 = 0      ⇒      −1 = e^iπ

und nehmen hiervon den Logarithmus

ln (−1) = ln (e^iπ)

sodass

ln (−1) = iπ

 

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