Единичная окружность
В комплексной плоскости можно нарисовать единичный круг (группу окружностей).
Формула Эйлера
Все точки на этой окружности удовлетворяют формуле Эйлера
и они дают точки, указанные на диаграмме Арганда.
Подстановка φ в формулу дает значения
→ → → →
Числовой круг
Вы можете включить круг комплексной единицы в круг чисел. Это позволяет показать связь между натуральными и комплексными числами. Внутренняя граница образует четырехугольник, который начинается с цифры 1 и продолжается до 24.
21 22 23 24 1 2 3 20 4 19 i 5 18 i2 0 −i2 6 17 −i 7 16 8 15 14 13 12 11 10 9
Мнимые числа i и −i лежат на единичной окружности. Поскольку i2 = −1 и −i2 = +1, число 1 дважды появляется на числовом круге.
Мнимая единица
Мнимую единицу можно взять за основу экспоненциальной функции. Для сил, по часовой стрелке
i 0 = 1, i 1 = i, i 2 = –1, i 3 = –i
i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = –1, i 7 = –i
или против часовой стрелки
i 0 = 1, i –1 = –i, i –2 = –1, i –3 = i
i –4 = 1, i –5 = –i, i –6 = –1, i –7 = i
Диаграмма Арганда показывает значения 1, i, –1 и –i в указанных точках.