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通过将 x = −ix 代入指数函数，你可以得到欧拉公式的形式
在指数函数的数列中，我们用 x = – ix 代替，得到
在这里你可以将虚数单位转换为
括号内是余弦和正弦的系列，所以
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 = cos x − i sin x .gif)
 = (- ix)⁰ ∕ 0! + (- ix)¹ ∕ 1! + (- ix)³ ∕ 3! + (- ix)⁴ ∕ 4! +(- ix)⁵ ∕ 5! + (- ix)⁶ ∕ 6! +(- ix)⁷ ∕ 7! + ⋯ .gif)
 − i (x ∕ 1! − x³ ∕ 3! + x⁵ ∕ 5! − x⁷ ∕ 7 + ⋯ ) .gif)
