Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion ergibt die Eulerformel in der Form
Erläuterung
Die Reihe für die Exponentialfunktion kann man aufteilen in
In Klammern stehen die Reihen für den hyperbolischen Kosinus und den hyperbolischen Sinus. Das darf man so schreiben, denn diesen beiden Reihen sind absolut konvergent. Wir stellen also fest
Substitution von x = −x in die Reihe für den Exponentialfunktion ergibt
Wir stellen fest
Weitere Berechnungen
Die beiden Gleichungen addieren ergibt
und abziehen ergibt
Das sind die Definitionen vom hyperbolischen Sinus und vom hyperbolischen Kosinus.
GeschichteDer Schweizer Mathematiker Leonhard Euler beschrieb diese Formel 1748. |