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Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion ergibt die Eulerformel in der Form

 


Erläuterung

Die Reihe für die Exponentialfunktion kann man aufteilen in

In Klammern stehen die Reihen für den hyperbolischen Kosinus und den hyperbolischen Sinus. Das darf man so schreiben, denn diesen beiden Reihen sind absolut konvergent. Wir stellen also fest

Substitution von x = −x in die Reihe für den Exponentialfunktion ergibt

Wir stellen fest

 


Weitere Berechnungen

Die beiden Gleichungen addieren ergibt

und abziehen ergibt

Das sind die Definitionen vom hyperbolischen Sinus und vom hyperbolischen Kosinus.

 


Geschichte

Der schweizer Mathematiker Leonhard Euler beschrieb diese Formel 1748.


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