Fonction exponentielle
La fonction exponentielle donne la formule d'Euler sous la forme
Explication
La série de la fonction exponentielle peut être divisée en
En parenthèses se trouvent les développements limités du cosinus hyperbolique et du sinus hyperbolique. Vous pouvez écrire ceci comme il est parce que les deux séries sont absolument convergentes. Nous établissons
Substitution de x = −x dans la fonction exponentielle donne
Nous établissons
Calculs additionelles
L'addition des équations donne
et les soustraire l'un de l'autre
Ce sont les définitions du sinus hyperbolique et du cosinus hyperbolique.
HistoireLe mathématicien suisse Leonhard Euler a décrit cette formule en 1748. |