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欧拉公式显示了指数函数和双曲函数之间的关系
指数函数的数列可以划分为
双曲余弦数列和双曲正弦数列都在括号内。我们注意到
将 x = −x 代入指数函数，得到
我们注意到
将这两个方程相加得出
并将其相互减去
这些是双曲正弦和双曲余弦的定义。
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 + (x + x³ ∕ 3! + x⁵ ∕ 5!+ x⁷ ∕ 7! + ⋯ ) .gif)
 − (x + x³ ∕ 3! + x⁵ ∕ 5! + x⁷ ∕ 7! + ⋯ ) .gif)
 = cosh x − sinh x .gif)
