Eulerformel
Die Eulerformel zeigt den Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen
Erläuterung
Substition von x = ix in die Reihe für die Exponentialfunktion ergibt
Hierin vereinfachen wir die Potenzen der imaginären Einheit
In Klammern stehen die Reihen für den Kosinus und den Sinus. Das kann man so schreiben, denn beide Reihen sind absolut konvergent, sodass
Substition von x = −ix in die Reihe für die Exponentialfunktion ergibt
sodass
Weitere Berechnungen
Diese beiden Gleichungen addieren wir
und ziehen die auch ab
Das sind der Sinus und der Kosinus ausgedrückt in komplexe exponentielle Funktionen.
GeschichteDer Schweizer Mathematiker Leonhard Euler beschrieb diese Formel 1748. |