Formule d'Euler
La formule d'Euler établit un lien entre les fonctions exponentielles et les fonctions trigonométriques
Explication
Substition de x = ix dans la développement limité de la fonction exponentielle donne
Il permet de convertir l'unité imaginaire
Entre parenthèses sont les développements limités du cosinus et du sinus. Ces deux développements sont absolument convergentes, afin que
Substition de x = −ix dans le développement limité de la fonction exponentielle donne
alors
Calculations additionelles
L'addition de ces deux formules donne
et subtraction des formules
Ce sont le sinus et le cosinus exprimée en fonctions exponentielles complexe.
HistoireLe mathématicien suisse Leonhard Euler a décrit cette formule en 1748. |