Formule van Euler
De formule van Cotes-De Moivre-Euler toont de samenhang van exponentiële functies en trigonometrische functies
Uitleg
Substitutie van x = ix in de reeks voor de exponentiële functie geeft
Hierin kun je de imaginaire eenheid omrekenen naar
Tussen haakjes staan de reeksen voor de cosinus en de sinus. Dit mag je zo schrijven omdat deze beide reeksen absoluut convergent zijn, zodat
Substitutie van x = −ix in de reeks voor de exponentiële functie geeft
zodat
Verdere berekeningen
Deze beide vergelijkingen optellen geeft
en trekken ze van elkaar af
Dit zijn de sinus en de cosinus uitgedrukt in complexe exponentiële functies.
GeschiedenisDe formule werd in 1748 door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler beschreven. |