Формула Эйлера
Формула Котеса-Де Муавра-Эйлера показывает связь между экспоненциальными и тригонометрическими функциями
Пояснение
Подстановка x = ix в ряд для экспоненциальной функции дает
При этом вы можете преобразовать мнимую единицу в
В скобках указаны серии для косинуса и синуса. Это можно записать так, потому что оба этих ряда абсолютно сходятся, так что
Подстановка x = −ix в ряд для экспоненциальной функции дает
такой, что
Дальнейшие расчеты
Сложение этих двух уравнений дает
и вычитая их друг из друга
Это синус и косинус, выраженные как сложные экспоненциальные функции.
ИсторияФормула была описана швейцарским математиком Леонгардом Эйлером в 1748 году. |