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Formel von Pythagoras
Die Formel von Pythagoras lautet
Erläuterung
Die Griechen nannten ungerade Zahlen Gnomons. Ein Gnomon ist ein Haken auf einer Sonnenuhr.
6 • • • • • • 5 • • • • • • 4 • • • • • • 3 • • • • • • 2 • • • • • • 1 • • • • • • 1 3 5 7 9 11
In den Haken stehen eine ungerade Anzahl Punkte. Für die damit gebildeten Vierecken gilt dann
12 = 1
22 = 1 + 3
32 = 1 + 3 + 5
42 = 1 + 3 + 5 + 7
52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
62 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
Allgemein kann man das schreiben als
Jede ungerade Zahl ist die Differenz von zwei Quadrate
1 = 12 - 02
3 = 22 - 12
5 = 32 - 22
7 = 42 - 32
9 = 52 - 42
11 = 62 - 52
Allgemein gilt
Hierfür kann man schreiben
.gif){kind=small}
Die ungerade Zahl (2n + 1) kann selbst auch wieder ein Quadrat sein von einer anderen ungeraden Zahl g. Dann gilt (2n + 1) = g2, also auch n = (g2 – 1) / 2, und das ergibt die Formel von Pythagoras
Hierin kann man für g jede ungerade Zahl größer 1 ausfüllen
52 = 42 + 32
132 = 122 + 52
352 = 242 + 72
412 = 402 + 92
612 = 602 + 112
852 = 842 + 132
Vielfachen von 2, 3 und 4 fehlen, denn bei der Entwicklung der Formel sind wir von zwei Quadrate ausgegangen.
Pythagoras-Satz
Dies ist der Pythagoras-Satz und die Formeln beschreiben rechteckige Dreiecke. Die vollständige Liste dieser unter 100 enthält ebenfalls
102 = 62 + 82
152 = 92 + 122
202 = 122 + 162
262 = 242 + 102
392 = 362 + 152
522 = 482 + 202
Diese entsprechen jedoch nicht die Formel von Pythagoras.
GeschichteDer griechische Mathematiker Pythagoras (572 v. Chr. - 500 v. Chr.) ist vor allem bekannt durch seine Zahlentheorie. |