< 1 >
Formule van Pythagoras
De formule van Pythagoras is
Uitleg
De Grieken noemden oneven getallen gnomons. Een gnomon is een haak van een zonnewijzer.
6 • • • • • • 5 • • • • • • 4 • • • • • • 3 • • • • • • 2 • • • • • • 1 • • • • • • 1 3 5 7 9 11
In de haken bevinden zich oneven getallen, voorgesteld door stippen. Hierin zijn de betrekkingen
12 = 1
22 = 1 + 3
32 = 1 + 3 + 5
42 = 1 + 3 + 5 + 7
52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
62 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
Algemeen kan dit geschreven worden als
Ieder oneven getal verschijnt als het verschil van twee kwadraten
1 = 12 - 02
3 = 22 - 12
5 = 32 - 22
7 = 42 - 32
9 = 52 - 42
11 = 62 - 52
Algemeen geldt
Hiervoor kun je ook schrijven
Hierin kan het oneven getal (2n + 1) zelf weer het kwadraat zijn van een ander oneven getal g. Dan geldt algemeen (2n + 1) = g2, dus ook n = (g2 – 1) / 2, en dat levert de formule van Pythagoras
Hierin kun je voor g ieder oneven getal groter dan 1 invullen
52 = 42 + 32
132 = 122 + 52
352 = 242 + 72
412 = 402 + 92
612 = 602 + 112
852 = 842 + 132
Alle veelvouden van 2, 3 en 4 ontbreken, omdat we bij het ontwikkelen van de formule uitgegaan zijn van de ontwikkeling van twee kwadraten.
Stelling van Pythagoras
Het gaat hier om de Stelling van Pythagoras en de formules beschrijven rechthoekige driehoeken. In de volledige lijst hiervan onder de 100 staan bovendien
102 = 62 + 82
152 = 92 + 122
202 = 122 + 162
262 = 242 + 102
392 = 362 + 152
522 = 482 + 202
Deze voldoen echter niet aan de formule van Pythagoras.
GeschiedenisDe Griekse wiskundige Pythagoras (572 v. Chr. - 500 v. Chr.) is vooral bekend door zijn getaltheorie. |