Euler's formule voor pi
De waarde π = 3,1415… kun je berekenen met de formule die de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler ontwikkelde
Uitleg
De oneigenlijke integraal van de sinc-functie kun je omrekenen naar
Evaluatie van de integralen in de laatste som door middel van numerieke integratie geeft
k 0 1,85194 1 0,43379 2 0,25661 3 0,18260 ∆ ∆2 ∆3 ∆4 4 0,14180 −2587 5 0,11593 799 −1788 −321 6 0,09805 478 153 −1310 −168 7 0,08495 310 −1000 8 0,07495
De som van k = 3 is
1.85194 − 0,43379 + 0,25661 − 0,18260 = 1,49216
Als we de Euler transformatie toepassen op de rest krijgen we
= 0,07090 + 0,00647 + 0,00100 + 0,00020 + 0,00005
= 0,07862
We krijgen de waarde van de integraal als
1,4962 + 0,07862 = 1,57078
vergeleken met 1,57080.
GeschiedenisDe Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707 - 1783) heeft deze numerieke integratie ontwikkeld. |