Формула для пи
Формула для π, содержащая неправильный интеграл от функции sinc, имеет вид
Это позволяет вычислить значение π = 3,1415… путем численного интегрирования.
Пояснение
Мы собираемся вычислить
вычислять с помощью интегрирования в комплексной плоскости. Мы можем записать
и
Подставив в формулу Эйлера, получим
Для полюса z = 0 имеем
С полюсом вне корпуса. Выделим полюс z = 0, окружив его полукругом (γ) радиуса r. Мы можем написать
Второй интеграл дает −iπ при z → 0
а четвертый интеграл, следуя тем же рассуждениям, дает 0 при R → ∞
Заполнение дает для R → ∞
и так
так что
ИсторияШвейцарский математик Леонгард Эйлер (1707 - 1783) вычислил значение π по этой формуле. |