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Fourier's Formel für Pi
Der französische Mathematiker Joseph Fourier entwickelte für π = 3,1415… die Formel
Erläuterung
Wir beginnen mit der sinc-Funktion und schreiben die Reihe
Die Nullpunkte dieser Funktion sind ganzzahlige Vielfache von π, also die Punkte x = n · π für n = ±1, ±2, ±3, ... . Der Weierstraßscher Produktsatz gibt hier
was man konvertieren kann in
und damit auch in
Jetzt werden wir die Newtonidentitäten anwenden. Wir arbeiten nur mit den Koeffizienten von x2 und berechnen
In der ursprünglichen Reihe sehen wir, dass der Koeffizient von x2 dort gleich
also
sodass
GeschichteDie erste Berechnung wurde 1735 von Leonhard Euler vorgenommen und ist seitdem als das Baseler Problem bekannt. Die Serie ist die Zeta-Funktion |