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Formule de Fourier pour pi
Le mathématicien Joseph Fourier a développé pour π = 3,1415… la formule
Explication
On commence par la fonction sinc et on écrit la série
Les zéros de cette fonction sont des multiples entiers de π, donc les points x = n · π pour n = ±1, ±2, ±3, .... La théorème de factorisation de Weierstrass donne ici
ce que vous pouvez convertir en
et donc aussi à
Maintenant, nous allons appliquer les identités de Newton. Nous travaillons uniquement avec les coefficients de x2 et calculons
Dans la série originale, nous voyons que le coefficient de x2 y est égal à
et donc
afin que
HistoireLe premier calcul a été donné en 1735 par Leonhard Euler, et est connu depuis sous le nom de problème de Bâle. La série est la fonction zeta |