< 1 >
Fourier's formule voor pi
De Franse wiskundige Joseph Fourier ontwikkelde voor π = 3,1415… de formule
Uitleg
We beginnen met de sinc-functie en schrijven de reeks
De nulpunten van deze functie zijn gehele veelvouden van π, dus de punten x = n · π voor n = ±1, ±2, ±3, ... . De factorisatiestelling van Weierstraß levert hiervoor
wat je kunt omrekenen naar
en dus ook naar
Nu gaan we de identiteiten van Newton toepassen. We werken daarbij alleen met de coëfficiënten van x2 en berekenen
In de oorspronkelijke reeks zien we dat de coëfficiënt van x2 daar gelijk is aan
en dus geldt
zodat
GeschiedenisDe eerste berekening werd gemaakt door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707 - 1783), om het Bazel-probleem op te lossen. De Franse wiskundige Joseph Fourier (1768 - 1830) ontwikkelde dezelfde reeks die nu als zèta-functie ζ(2) bekend staat. |