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Satzgruppe von Vieta
Der Satz von Viète erlaubt es, die Koeffizienten eines Polynoms in den Summen und Produkten seiner Wurzeln auszudrücken.
Erläuterung
Ein Polynom vom Grad n
P(x) = anxn + an−1xn−1 + ··· + a2x2 + a1x + a0 = (x − x1)(x − x2) ··· (x − xn)
mit reellen oder komplexen Koeffizienten, worin an ≠ 0, hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra n Nullpunkte. Die Formeln entstehen durch Berechnung von
für j = 1, 2, ... , n
worin
Beispiel 1
Für ein Polynom ersten Grades
ergibt sich
x1 = −p
Beispiel 2
Für ein Polynom zweiten Grades
ergibt sich
x1 + x2 = −p
x1x2 = q
Beispiel 3
Für ein Plolynom dritten Grades
ergibt sich
x1 + x2 + x3 = −p
x1x2 + x1x3 + x2x3 = q
x1x2x3 = −r
Beispiel 4
Für ein Polynom vierten Grades
ergibt sich
x1 + x2 + x3 + x4 = −p
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = q
x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = −r
x1x2x3x4 = s
GeschichteDie Formeln wurden von dem französischen Mathematiker Albert Girard (1595 - 1632) entwickelt. |