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Satzgruppe von Vieta

Der Satz von Viète erlaubt es, die Koeffizienten eines Polynoms in den Summen und Produkten seiner Wurzeln auszudrücken.

 


Erläuterung

Ein Polynom vom Grad n

P(x) = anxn  + an−1xn−1  + ··· + a2x2 + a1x + a0 = (x − x1)(x − x2) ··· (x − xn)

mit reellen oder komplexen Koeffizienten, worin an ≠ 0, hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra n Nullpunkte. Die Formeln entstehen durch Berechnung von

     für     j = 1, 2, ... , n

worin

 


Beispiel 1

Für ein Polynom ersten Grades

x + p

ergibt sich

x1 = −p

 


Beispiel 2

Für ein Polynom zweiten Grades

x2 + px + q

ergibt sich

x1 + x2 = −p
x1x2 = q

 


Beispiel 3

Für ein Plolynom dritten Grades

x3 + px2 + qx + r

ergibt sich

x1 + x2 + x3 = −p
x1x2 + x1x3  + x2x3 = q
x1x2x3 = r

 


Beispiel 4

Für ein Polynom vierten Grades

x4 +px3 + qx2 + rx + s

ergibt sich

x1 + x2 + x3 + x4 = −p
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = q
x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = r
x1x2x3x4 = s

 


Geschichte

Die Formeln wurden von dem französischen Mathematiker Albert Girard (1595 - 1632) entwickelt.


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