< 1 >
Гамма-функция
Гамма-функция, обозначаемая греческой буквой Γ, является расширением функции факториала на комплексные числа и определяется как
Пояснение
Этот несобственный интеграл обладает важным свойством: Г( p) = ( p – 1) !, где p - целое число, большее или равное 1.
На самом деле, факториальная функция является частным случаем гамма-функции, так как
для всех натуральных чисел n.
Свойства
1. Для p = 1
2. Заменим t = x2 ⇒ dt = 2x dx
то теперь для
Пример 1
Факториал трансцендентного числа π может быть вычислен как
Пример 2
Факториал трансцендентного числа e можно вычислить как
Пример 3
Факториал мнимой единицы i может быть вычислен как
i! = Γ(1 + i) ≈ 0,4980 − 0,1549i
Пример 4
Гамма-функция используется в степенном ряде для обратного косинуса
ИсторияГамма-функция была описана швейцарским математиком Леонгардом Эйлером в 1729 году. |