Geometrische Folge
In einer geometrischen Folge entsteht jedes nächste Element indem das Vorherige mit einer Konstanten multipliziert wird. Wenn a das erste Element der Reihe ist und r die Konstante, dann liegt die ganze Folge fest. Für |r| < 1 ist die Summe
Erläuterung
Dann gilt sowohl
als auch
Wir subtrahieren die zweite Gleigung von der Ersten und finden
sodass
und also
Für |r| < 1 und n→∞ bekommen wir dann
Beispiel 1
Wir wollen die unendliche Reihe
untersuchen mit einer Zeichnung.
1/2 1/16 1/4 1/32 1/8
Die Termen sind
sodass gilt
und
Die Summe berechnen wir mit
und das ergibt genau 1.