< 1 2 >
0,999...
On peut écrire le nombre 1, avec un nombre infini de décimales comme
Les trois points indiquent qu'il y a infiniment de décimales avant la virgule.
Calcul par une fraction
Nous partons de la fraction
Ici, on voit que le même nombre peut être écrit de plusieurs façons.
Calcul avec une comparaison
Nous partons du
et multiplier les deux côtés par 10 alors que
Des deux côtés, on soustrait x
et trouver
alors
Il s'ensuit directement que 1 = 0,999999…
Calcul avec une série géométrique
Chaque élément consécutif dans une suite géométrique est crée par multiplier son prédécesseur avec une constante. Si a est le premier élément de la suite et r la constante, la suite est definie par
Pour |r| < 1 on peut écrire la somme de cette suite comme
Le nombre 0,999999… est une suite géométrique, parce que
dans lequel
et
donc
De cette elle découle directement que 0,999999… = 1.
Calcul avec une calculatrice
Sur une calculatrice vous obtenez
sinon parfois
a cause du l'arrondi utilisé.
Note
Le nombre 0,999999… ne se termine pas par un 9 mais continue toujours.