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0,999...

On peut écrire le nombre 1, avec un nombre infini de décimales comme

Les trois points indiquent qu'il y a infiniment de décimales avant la virgule.

 


Calcul par une fraction

Nous partons de la fraction

Ici, on voit que le même nombre peut être écrit de plusieurs façons.

 


Calcul avec une comparaison

Nous partons du

et multiplier les deux côtés par 10 alors que

Des deux côtés, on soustrait x

et trouver

alors

Il s'ensuit directement que 1 = 0,999999…

 


Calcul avec une série géométrique

Chaque élément consécutif dans une suite géométrique est crée par multiplier son prédécesseur avec une constante. Si a est le premier élément de la suite et r la constante, la suite est definie par

Pour |r| < 1 on peut écrire la somme de cette suite comme

Le nombre 0,999999… est alors une suite géométrique, parce que

dans lequel

    et    

donc

De cette elle découle directement que 0,999999… = 1.

 


Calcul avec une calculatrice

Sur une calculatrice vous obtenez

sinon parfois

a cause du l'arrondi utilisé.

 


Note

Le nombre 0,999999… ne se termine pas par un 9 mais continue toujours.

 


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