< 1 2 >
0,999...
Het getal 1 kun je met een oneindig aantal decimalen schrijven als
De drie punten geven aan dat er oneindig veel cijfers achter de komma staan.
Berekening met een breuk
We gaan uit van de breuk
Hier blijkt dat hetzelfde getal op meerdere manieren geschreven kan worden.
Berekening met een vergelijking
We gaan uit van
en vermenigvuldigen beide leden met 10 zodat
Van beide leden trekken we x af
en vinden
zodat
Hieruit volgt direct dat 1 = 0,999999…
Berekening met een geometrische reeks
In een geometrische rij ontstaat elk volgend element door zijn voorganger met een constante te vermenigvuldigen. Als a het eerste element van de reeks is en r de constante, dan ligt de gehele reeks vast
Voor |r| < 1 kun je de som van deze rij schrijven als
Het getal 0,999999… kun je als een geometrische rij opvatten, want
daarin is
en
zodat
Hieruit volgt direct dat 0,999999… = 1.
Berekening met een rekenmachine
Op een rekenmachine geeft de berekening
maar soms krijg je ook
dat ligt dan aan de afronding die gebruikt wordt.
Opmerking
Het getal 0,999999… houdt niet op met een 9 maar loopt altijd verder door.