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1 (eins)

Die Zahl 1 kann man mit unendlich vielen Dezimalen schreiben als

Die drei Punkte bedeuten, dass es unendlich viele Nachkommastellen gibt.

 


Berechnung mit einem Bruch

Wir fangen an mit dem Bruch

Hier zeigt sich, dass die gleiche Zahl auf verschiedenen Weisen geschrieben werden kann.

 


Berechnung mit einer Gleichung

Wir fangen an mit

und multiplizieren die beide Seiten mit 10, sodass

An beiden Seiten ziehen wir x ab

und bekommen

sodass

Hieraus folgt direkt, dass 1 = 0,999999… ist.

 


Berechnung mit einer geometrischen Reihe

In einer geometrischen Reihe entsteht jedes nächste Element indem das Vorherige mit einer Konstanten multipliziert wird. Wenn a das erste Element der Reihe ist und r die Konstante, dann liegt die ganze Reihe fest

Für |r| < 1 kann man die Summe dieser Reihe schreiben als

Die Zahl 0,999999… kann man als eine geometrische Reihe betrachten, denn

worin

    und    

sodass

Hieraus folgt direkt, dass 0,999999… = 1.

 


Berechnung mit einem Rechner

Auf einem Rechner gibt die Berechnung

aber manchmal bekommt man

das liegt dann an der Rundung die benutzt wird.

 


Anmerkung

Die Zahl 0,999999… hört nicht auf mit einer 9 sondern geht immer weiter.

 


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