Nombre e
El nombre e = 2,7182… es la suma de factoriales inversas
Explicación
Sólo para la función f (x) = ex se aplica
y para x = 0 tiene el valor 1. ¿Podemos desarrollar una serie infinita para esto en base a estos datos? Intentémoslo. Con diferenciar, una potencia disminuye en 1. Comenzamos con la serie
y obtenemos
Esto no es correcto. La serie comienza ahora con un 1 (lo habíamos olvidado) y los exponentes aún no han sido capturados. Así que, un segundo intento
y ahora vemos
Eso tampoco es correcto, porque las fracciones han desaparecido. Tenemos que pensar en algo para mantenerlos. Un tercer intento con
y ahí vemos
Parece que está bien. Y eso es, en realidad, bastante lógico. Pero lo comprobamos diferenciando una vez más
Eso funciona bien, y además para x = 0 el valor siempre se mantiene en 1. Puedes escribir esto con factoriales como
Entonces podemos calcular el nombre e, porque para x = 1 obtenemos
En ella, los términos sucesivos dan
1/0! = 1,0000
1/1! = 1,0000
1/2! = 0,5000
1/3! = 0,1667
1/4! = 0,0417
1/5! = 0,0083
1/6! = 0,0014
-------
e = 2,718…
La respuesta es exacta hasta 3 lugares.