< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 >
Getal e
Het getal e = 2,7182… is de som van omgekeerde faculteiten
Uitleg
Alleen voor de functie f (x) = ex geldt
en voor x = 0 heeft deze de waarde 1. Kunnen we op basis van deze gegevens een oneindige reeks hiervoor ontwikkelen? Laten we het eens proberen. Bij differentiëren neemt een macht met 1 af. We beginnen met de reeks
en krijgen
Dat klopt niet. De reeks begint nu met een 1 (die hadden we even vergeten) en de exponenten moeten nog afgevangen worden. Een tweede poging dus
en nu zien we
Ook dat klopt nog niet, want de breuken zijn allemaal verdwenen. We moeten iets verzinnen om die te behouden. Een derde poging met
en zie daar
Het schijnt te kloppen. En dat is eigenlijk ook wel logisch. Maar we controleren het door nog een keer te differentiëren
Dat gaat goed, en ook voor x = 0 blijft de waarde steeds 1. Je kunt dit met faculteiten schrijven als
Dan kunnen we het getal e berekenen, want voor x = 1 ontstaat
Daarin geven de opvolgende termen
1/0! = 1,0000
1/1! = 1,0000
1/2! = 0,5000
1/3! = 0,1667
1/4! = 0,0417
1/5! = 0,0083
1/6! = 0,0014
-------
e = 2,718…
Het antwoord is tot 3 plaatsen nauwkeurig.