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Zahl e

Die Zahl e ist eine transzendente Zahl mit dem Wert

e = 2,7182…

Es ist eine wichtige Zahl, die den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktionen, Logarithmen, Exponenten, Trigonometrische Funktionen, Hyperbolische Funktionen liefert.

 


Reihenentwickung

Die Reihe für die Zahl e kan man schreiben als

oder wenn es besser gefällt als

 


Exponentialfunktionen

Die Zahl e ist der Basis der Exponentialfunktion

worin x eine Variable ist.

 


Basis des natürlichen Logarithmus

Jede Zahl kann man als eine Exponentialfunktion schreiben

Da bx funktioniert wie die Regeln für Logarithmen als Exponenten, gilt auch

für jede reelle Zahl x.

 


Eigene Ableitung

Die Ableitung der Exponentialfunktion ist

und die Exponentialfunktion ist also ihre eigene Ableitung!

 


Eulersche Formel

Die Eulerformel zeigt den Zusammenhang komplexer exponentieller Funktionen und trigonometrischer Funktionen an

 


Hyperbolische Funktionen

Alle trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen werden mit Exponentialfunktionen definiert. Für den hyperbolischen Sinus gilt

 


Geschichte

Der Buchstabe e steht für Exponent, aber jeder nennt ihn das e von Euler, nach dem berühmten Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707 - 1783), der seine große Bedeutung erklärte.


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