1 (eins)
Die Zahl 1 kann man mit unendlich vielen Dezimalen schreiben als
Die drei Punkte bedeuten, dass es unendlich viele Nachkommastellen gibt.
Berechnung mit einem Bruch
Wir fangen an mit dem Bruch
Hier zeigt sich, dass die gleiche Zahl auf verschiedenen Weisen geschrieben werden kann.
Berechnung mit einer Gleichung
Wir fangen an mit
und multiplizieren die beide Seiten mit 10, sodass
An beiden Seiten ziehen wir x ab
und bekommen
sodass
Hieraus folgt direkt, dass 1 = 0,999999… ist.
Berechnung mit einer geometrischen Reihe
In einer geometrischen Reihe entsteht jedes nächste Element indem das Vorherige mit einer Konstanten multipliziert wird. Wenn a das erste Element der Reihe ist und r die Konstante, dann liegt die ganze Reihe fest
Für |r| < 1 kann man die Summe dieser Reihe schreiben als
Die Zahl 0,999999… kann man als eine geometrische Reihe betrachten, denn
worin
und
sodass
Hieraus folgt direkt, dass 0,999999… = 1.
Berechnung mit einem Rechner
Auf einem Rechner gibt die Berechnung
aber manchmal bekommt man
das liegt dann an der Rundung die benutzt wird.
Anmerkung
Die Zahl 0,999999… hört nicht auf mit einer 9 sondern geht immer weiter.