Grandi-Reihe
Für die unendliche Grandi-Reihe
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ?
gibt es keine Lösung. Aber wie kann so etwas überhaupt entstehen?
Beispiel 1
Die erste Ableitung vom inversen Tangens ist
Die Reihe für den inversen Tangens ist
und die Ableitung davon wird
und deswegen gilt die Gleichung
Hieraus folgt
und wenn wir uns an nichts stören finden wir sogar
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Das wollen wir vorsichtshalber mal nachprüfen. Mit x = 0 ergibt es dann
und das stimmt natürlich nicht. Jetzt mal mit x = 1, dann sieht man
und das stimmt auch nicht. Wenn man in die ursprüngliche Gleichung x = 0 ausfüllt ergibt das
und das ist richtig. Wir haben uns nicht stören lassen, und schrieben statt 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ··· ohne weiteres 0, obschon dies unbestimmt ist. Das wurde uns fatal. Als letztes füllen wir in die ursprügliche Formel auch mal x = 1 aus
und das ist nicht korrekt. Wir müssen schon vorher einen Fehler gemacht haben. Und das haben wir auch, denn die Reihe für den inversen Tangens gilt nur für |x| < 1.
GeschichteDer italienische Mathematiker Guido Grandi schrieb 1703 über diese Reihe. |