Ряд Гранди
Для бесконечного ряда Гранди
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ?
нет решения. Но как возникает такая вещь?
Пример 1
Первая производная обратного тангенса равна
Ряд для обратного тангенса равен
и его производная становится
поэтому уравнение
Из этого следует
и если мы не будем беспокоиться ни о чем, мы даже найдем
.gif){kind=small}
Давайте проверим это внимательно. Для x = 0 вы получаете
и это, конечно, неверно. Теперь, когда x = 1, вы видите
и это тоже не сходится. Если ввести x = 0 в исходное уравнение, то получится
и это правильно. Мы не позволили ничему беспокоить нас и заменили 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ··· просто на 0, даже несмотря на то, что это неопределенное число. Это не осталось безнаказанным. Для полноты, мы также заполним x = 1 в исходной формуле
и это неверно. Поэтому мы совершили еще одну ошибку. Так и есть, потому что ряд для обратного тангенса действителен только для |x| < 1.
ИсторияИтальянский математик Гвидо Гранди написал об этой серии в 1703 году. |