主值(对数)
复数 z 在区间 [0, 2π) 内的对数称为它的本值。也可以选择区间 (−π, π] 来计算。
解释
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
你把一个复数用极值符号写成 z = r · eiφ。假设其中的对数是复数 x + i y,那么就可以得到
然后
所以
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
复数的对数有无限多的值,这些值的实部 ln r 都是相同的,而在虚部总是相差 2π 的倍数。
对于 k = 0,你可以得到主值。
例1
对数 −1 的本金值为