Valeur principale (d'un logarithme)
Le logarithme d'un nombre complexe z dans l'intervalle [0, 2π) est appelée la valeur principale. On peut sélectionner aussi l'intervalle (−π, π].
Explication
Le logarithme d'un nombre complexe z = r · eiφ est
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
Un nombre complexe est écrit en notation polaire comme z = r · eiφ. Supposons que le logarithme de ceci est le nombre complexe x + i y, alors vous obtenez
où
donc
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
Ainsi le logarithme d'un nombre complexe a des valeurs infinies, qui ont toutes la même partie réelle ln r et qui dans la partie imaginaire diffèrent toujours par un multiple de 2π.
Pour k = 0 vous obtenez la valeur principale.
Exemple 1
Le logarithme de −1 a une valeur principale de