Hoofdwaarde (van een logaritme)
De logaritme van een complex getal z in het interval [0, 2π) heet de hoofdwaarde. Het interval (−π, π] kan hiervoor ook gekozen worden.
Uitleg
De logaritme van een complex getal z = r · eiφ is
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
Een complex getal schrijf je met polaire notatie als z = r · eiφ. Neem aan dat de logaritme hiervan het complexe getal x + i y is, dan krijg je
Hierin zijn dan
zodat
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
De logaritme van een complex getal heeft dus oneindig veel waardes, die allemaal hetzelfde reële deel ln r hebben en die in het imaginaire deel steeds een veelvoud van 2π van elkaar verschillen.
Voor k = 0 krijg je de hoofdwaarde.
Voorbeeld 1
De logaritme van −1 heeft een hoofdwaarde van