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Hauptwert (einer Wurzel)

Die Wurzel einer komplexen Zahl z im Intervall [0, 2π) heißt den Hauptwert. Das Intervall (−π, π] kann auch genommen werden.

 


Erläuterung

Wurzeln aus komplexen Zahlen müssen in arithmetischen Wurzeln umgerechnet werden. Komplexe Zahlen kann man umrechnen indem die Definition der imaginären Einheit i 2 = – 1 benutzt wird. Es gibt dann kein Minuszeichen mehr. Bei einer Multiplikation bekommt man

worin a und b positive Zahlen sind.

 


Beispiel 1

Sie können die Wurzel der imaginären Einheit berechnen, wenn Sie i als Quadrat schreiben, also

in dem wir a und b berechnen. Das Quadratieren beider Seiten ergibt

was wir auflösen in

Da natürlich gelten muss i = i, ergeben sich daraus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten

Eine Berechnung zeigt

Durch Substitution bekommt man

Der Hauptwert ist dann

sodass

 


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