Hauptwert (einer Wurzel)
Die Wurzel einer komplexen Zahl z im Intervall [0, 2π) heißt den Hauptwert. Das Intervall (−π, π] kann auch genommen werden.
Erläuterung
Wurzeln aus komplexen Zahlen müssen in arithmetischen Wurzeln umgerechnet werden. Komplexe Zahlen kann man umrechnen indem die Definition der imaginären Einheit i 2 = – 1 benutzt wird. Es gibt dann kein Minuszeichen mehr. Bei einer Multiplikation bekommt man
worin a und b positive Zahlen sind.
Beispiel 1
Sie können die Wurzel der imaginären Einheit berechnen, wenn Sie i als Quadrat schreiben, also
in dem wir a und b berechnen. Das Quadratieren beider Seiten ergibt
was wir auflösen in
Da natürlich gelten muss i = i, ergeben sich daraus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
Eine Berechnung zeigt
Durch Substitution bekommt man
Der Hauptwert ist dann
sodass