Hyperreale Zahl

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Hyperreale Zahl

In der nicht-standard Analyse wird eine hyperreale Zahl verwendet, um unendliche und infinitesimale Mengen zu behandeln.

Erläuterung

Die Menge der hyperrealen Zahlen wird mit dem Symbol *R bezeichnet. Diese Menge ist eine Erweiterung von R und wird als ∗-Transformation von R bezeichnet.

•	Hyperkleine Zahlen Für jede hyperkleine Zahl ε, die nicht Null ist, gilt, dass sie invertiert werden kann und das Ergebnis die Zahl ω = 1 / ε.
•	Hypergroße Zahlen Für die hypergroße Zahl ω gilt, dass \|ω\| > m für alle m ∈ N. Wenn ω positiv ist, können wir berechnen m < √ω < ω / 2 < ω − 1 < ω < ω + 1 < 2ω < ω² Wir haben auch (ω + 1)·(ω − 1) = ω² − 1 oder (ω + 1) + (ω − 1) = 2ω. Dies gilt natürlich nicht für Unendlich ∞, die überhaupt nicht als Zahl betrachtet wird.

Beispiele

Die verschiedenen hyperrealen Zahlen haben besondere Eigenschaften.

ε ≃ 0 Die hyperkleine Zahl ε ist asymptotisch gleich Null.

δ ≈ 0 Die hyperkleine Zahl δ ist näherungsweise gleich Null, aber nicht Null.

ω ~ ∞ Die hypergroße Zahl +ω ist positiv und hat die gleiche Größenordnung wie Plus- unendlich +∞. Der Unterschied zwischen +ω und +∞ ist nicht hyperklein.

−ω ~ −∞ Die hypergroße Zahl −ω ist negativ und hat die gleiche Größenordnung wie Minus-unendlich −∞. Der Unterschied zwischen −ω und −∞ ist nicht hyperklein.

Geschichte

Der deutsch-amerikanische Mathematiker Abraham Robinson definierte hyperreale Zahlen Anfang 1960.

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ε ≃ 0	Die hyperkleine Zahl ε ist asymptotisch gleich Null.
δ ≈ 0	Die hyperkleine Zahl δ ist näherungsweise gleich Null, aber nicht Null.
ω ~ ∞	Die hypergroße Zahl +ω ist positiv und hat die gleiche Größenordnung wie Plus- unendlich +∞. Der Unterschied zwischen +ω und +∞ ist nicht hyperklein.
−ω ~ −∞	Die hypergroße Zahl −ω ist negativ und hat die gleiche Größenordnung wie Minus-unendlich −∞. Der Unterschied zwischen −ω und −∞ ist nicht hyperklein.