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Número hiperreal
En el análisis no estándar, un número hiperreal se utiliza para manejar cantidades infinitas e infinitesimales.
Explicación
El conjunto de números hiperreales se denota con el símbolo *R. Este conjunto es una extensión de R y se denomina transformación ∗ de R.
| • | Números hiperpequeños Para todo número hiperpequeño no nulo ε aplica que se puede invertir y el resultado es el número ω = 1 / ε. |
| • | Números hipergrandes Para el número hipergrande ω se aplica que |ω| > m para todo m ∈ N. Si ω es positivo podemos calcular m < √ω < ω / 2 < ω − 1 < ω < ω + 1 < 2ω < ω2También tenemos (ω + 1)·(ω − 1) = ω2 − 1 o (ω + 1) + (ω − 1) = 2ω. Esto ciertamente no es cierto para el infinito ∞, que no se considera un número en absoluto. |
Ejemplos
Los distintos números hiperreales tienen propiedades especiales.
ε ≃ 0 El número hiperpequeño ε es asintóticamente igual a cero.
δ ≈ 0 El número hiperpequeño δ es aproximadamente igual a cero, pero no es cero.
ω ~ ∞ El número hipergrande +ω es positivo y tiene el mismo orden de magnitud que el +∞ infinito. La diferencia entre +ω y +∞ no es hiperpequeña.
−ω ~ −∞ El número hipergrande −ω es negativo y tiene el mismo orden de magnitud que el infinito −∞. La diferencia entre −ω y −∞ no es excesivamente pequeña.
HistoriaEl matemático alemán-estadounidense Abraham Robinson definió los números hiperreales a principios de 1960. |