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Nombre hyperréel
En analyse non standard, un nombre hyperréel est utilisé pour traiter les quantités infinies et infinitissimes.
Explication
L'ensemble des nombres hyperréels est désigné par le symbole *R. Cet ensemble est une extension de R et est appelé la ∗-transforme de R.
| • | Nombre hyperpetit Pour tout nombre hyperpetit non nul ε s'applique qu'il peut être inversé et le résultat est le nombre ω = 1 / ε. |
| • | Nombre hypergrand Pour le nombre hypergrand ω s'applique que |ω| > m pour tout m ∈ N. Si ω est positif on peut calculer m < √ω < ω / 2 < ω − 1 < ω < ω + 1 < 2ω < ω2On a aussi (ω + 1)·(ω − 1) = ω2 − 1 ou (ω + 1) + (ω − 1) = 2ω. Ceci n'est certainement pas vrai pour l'infini ∞, qui n'est pas du tout considéré comme un nombre. |
Exemples
Les différents nombres hyperréels ont des propriétés particulières.
ε ≃ 0 Le nombre hyperpetit ε est asymptotiquement égal à zéro.
δ ≈ 0 Le nombre hyperpetit δ est approximativement égal à zéro, mais il n'est pas zéro.
ω ~ ∞ Le nombre hypergrand +ω est positif et a le même ordre de grandeur que l'infini +∞. La différence entre +ω et +∞ n'est pas hyperpetit.
−ω ~ −∞ Le nombre hypergrand −ω est négatif et a le même ordre de grandeur que l'infini −∞. La différence entre −ω et −∞ n'est pas hyperpetit.
HistoireLe mathématicien germano-américain Abraham Robinson a défini les nombres hyperréels au début des années 1960. |