Maeckes logo

<    1    >


Hyperreëel getal

In de niet-standaard analyse wordt een hyperreëel getal gebruikt om oneindige en infinitesimale hoeveelheden te behandelen.

 


Uitleg

De verzameling van hyperreële getallen wordt aangeduid met het symbool *R. Deze verzameling is een uitbreiding van R en wordt de ∗-transformatie van R genoemd.

  • Hyperklein getal
Voor elk niet nul hyperklein getal ε geldt dat het geïnverteerd kan worden en het resultaat is het getal ω = 1 / ε.

  • Hypergroot getal
Voor het hypergrote getal ω geldt dat |ω| > m voor alle m ∈ N. Als ω positief is kunnen we berekenen

m < √ω < ω / 2 < ω − 1 < ω < ω + 1 < 2ω < ω2
We hebben ook (ω + 1)·(ω − 1) = ω2 − 1 of (ω + 1) + (ω − 1) = 2ω. Dit geldt zeker niet voor oneindig , dat helemaal niet als een getal wordt beschouwd.

 


Voorbeelden

De verschillende hyperreële getallen hebben bijzondere eigenschappen.

ε ≃ 0 Het hyperkleine getal ε is asymptotisch gelijk aan nul.

δ ≈ 0 Het hyperkleine getal δ is bij benadering gelijk aan nul, maar is niet nul.

ω ~ ∞ Het hypergrote getal is positief en heeft dezelfde orde van grootte als plus-oneindig +∞. Het verschil tussen en +∞ is niet hyperklein.

ω ~ −∞ Het hypergrote getal ω is negatief en heeft dezelfde orde van grootte als min-oneindig −∞. Het verschil tussen ω en −∞ is niet hyperklein.

 


Geschiedenis

De Duits-Amerikaanse wiskundige Abraham Robinson definieerde hyperreële getallen in het begin van 1960.


Deutsch   English   Español   Français   中文   Русский