Гиперреальное число

< 1 >

Гиперреальное число

В нестандартном анализе гиперреальное число используется для обработки бесконечных и бесконечно малых величин.

Пояснение

Множество гиперреальных чисел обозначается символом *R. Это множество является расширением R и называется ∗-трансформой R.

•

Гипермалое число
Для любого ненулевого гипермалого числа ε справедливо утверждение, что его можно перевернуть, и в результате получится число ω = 1 / ε.

•

Гипермажорное число
Для гипербольшого числа ω применим, что |ω| > m для всех m ∈ N. Если ω положительно, то мы можем вычислить

m < √ω < ω / 2 < ω − 1 < ω < ω + 1 < 2ω < ω²

Также имеем (ω + 1)·(ω − 1) = ω² − 1 или (ω + 1) + (ω − 1) = 2ω. Этого, конечно, нельзя сказать о бесконечном ∞, которое вообще не считается числом..

Примеры

Различные гиперреальные числа обладают особыми свойствами.

ε ≃ 0 Гиперреальное число ε асимптотически равно нулю.

δ ≈ 0 Гиперреальное число δ приблизительно равно нулю, но не равно нулю.

ω ~ ∞ Гипермалое число +ω является положительным и имеет тот же порядок величины, что и плюс-бесконечное +∞. Разница между +ω и +∞ не является гипермажорной.

−ω ~ −∞ Гиперинфинитное число −ω является отрицательным и имеет тот же порядок величины, что и минус-бесконечное −∞. Разница между −ω и −∞ не является гипермалой.

История

Немецко-американский математик Абрахам Робинсон дал определение гиперреальным числам в начале 1960-х годов.

Deutsch English Español Français Nederlands 中文


ε ≃ 0	Гиперреальное число ε асимптотически равно нулю.
δ ≈ 0	Гиперреальное число δ приблизительно равно нулю, но не равно нулю.
ω ~ ∞	Гипермалое число +ω является положительным и имеет тот же порядок величины, что и плюс-бесконечное +∞. Разница между +ω и +∞ не является гипермажорной.
−ω ~ −∞	Гиперинфинитное число −ω является отрицательным и имеет тот же порядок величины, что и минус-бесконечное −∞. Разница между −ω и −∞ не является гипермалой.