< 1 2 >
Identiteit voor Kettingbreuken
De formule van Euler voor kettingbreuken is een identiteit
Uitleg
Met één term kun je een breuk ontwikkelen
maar dat is nog geen kettingbreuk. Met twee termen lukt dat wel, want
en dat kun je schrijven als
Met drie termen zie je voor het eerst een iteratie ontstaan
We beschouwen b (1 + c) even apart, en schrijven de kettingbreuk voorlopig als
Daarin delen we de teller en noemer in de betreffende breuk door 1 + c en krijgen
In de noemer van die zelfde breuk tellen we er 1 bij en trekken die er onmiddellijk weer vanaf
zodat
Voor de duidelijkheid gaan we met vier termen verder en zien de iteratie
Hier beschouwen we c(1 + d) apart, en schrijven de kettingbreuk eerst als
We delen nu door 1 + d en krijgen
Dit schema herhaalt zich steeds opnieuw.
GeschiedenisDeze formule werd ontwikkeld door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707 - 1783). |