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Imaginäre Einheit

Beim Potenzrechnen, mit der imaginären Einheit als Basis bekommt man eine sich abwechselnde Entwicklung von

für die geraden Potenzen            i 0 = 1 ,      i 2 = –1 ,      i 4 = 1 ,      i 6 = –1 , ... usw.
für die ungeraden Potenzen        i 1 =  i ,      i 3 =  –i ,      i 5 =  i ,      i 7 =  –i , ... usw.

 


Erläuterung

Für die Potenzen folgt, in Uhrzeigersinn (englisch: clockwise)

i 0 = 1 ,     i 1 = i ,      i 2 = – 1 ,     i 3 = – i
i 4 = 1 ,     i 5 = i ,      i 6 = – 1 ,     i 7 = – i

usw.

oder in der anderen Richtung (englisch: counter-clockwise)

i 0   = 1 ,   i –1 = – i ,   i –2 = – 1 ,   i –3 = i
i –4  = 1 ,   i –5 = –i ,    i –6 = – 1 ,   i –7 = i

usw.

Das wirdt oft benutzt bei Reihenentwicklungen.

 


Beispiel 1

In der komplexen Ebene kann man eine Kreisgruppe zeichnen. Alle punkte auf diesem Kreis entsprechen der Eulerschen Formel

e = cos φ + i sin φ

und diesen ergeben darum auch die im Argand-Diagramm angegebenen Punkten.

Ausfüllen von φ in der Formel liefert die Werte

 


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