Imaginäre Einheit
Beim Potenzrechnen, mit der imaginären Einheit als Basis bekommt man eine sich abwechselnde Entwicklung von
für die geraden Potenzen i 0 = 1 , i 2 = –1 , i 4 = 1 , i 6 = –1 , ... usw.
für die ungeraden Potenzen i 1 = i , i 3 = –i , i 5 = i , i 7 = –i , ... usw.
Erläuterung
Für die Potenzen folgt, in Uhrzeigersinn (englisch: clockwise)
i 0 = 1 , i 1 = i , i 2 = – 1 , i 3 = – i
i 4 = 1 , i 5 = i , i 6 = – 1 , i 7 = – i
usw.
oder in der anderen Richtung (englisch: counter-clockwise)
i 0 = 1 , i –1 = – i , i –2 = – 1 , i –3 = i
i –4 = 1 , i –5 = –i , i –6 = – 1 , i –7 = i
usw.
Das wirdt oft benutzt bei Reihenentwicklungen.
Beispiel 1
In der komplexen Ebene kann man eine Kreisgruppe zeichnen. Alle punkte auf diesem Kreis entsprechen der Eulerschen Formel
und diesen ergeben darum auch die im Argand-Diagramm angegebenen Punkten.
Ausfüllen von φ in der Formel liefert die Werte
→ → → →