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Unité imaginaire

Pendant exponentiation avec l’unité imaginaire comme base, vous obtenez un développement varié de

pour les puissances paires            i 0 = 1 ,      i 2 = –1 ,      i 4 = 1 ,      i 6 = –1 , ... etc.
pour les puissances impaires        i 1 =  i ,      i 3 =  –i ,      i 5 =  i ,      i 7 =  –i , ... etc.

 


Explication

Pour les puissances suit, dans le sens horaire (anglais: clockwise)

i 0 = 1 ,       i 1 = i ,       i 2 = –1 ,     i 3 = –i
i 4 = 1 ,       i 5 = i ,       i 6 = –1 ,     i 7 = –i

ou dans le sens anti-horaire (anglais: anti-clockwise)

i 0  = 1 ,     i –1 = –i ,    i –2 = –1 ,    i –3 = i
i –4 = 1 ,     i –5 = –i  ,   i –6 = –1 ,    i –7 = i

C’est souvent utilisé dans le développement des séries.

 


Exemple 1

Dans le plan complexe on peut dessiner le cercle unité. Tous les points de ce cercle répondent à la formule d'Euler

e = cos φ + i sin φ

et forment donc les points indiqués dans le diagramme d'Argand.

En remplissant φ dans la formule, on obtient les valeurs

 


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